y′ = 40

Разберём ДУ вида y′ = a·y + b: найдём общее решение и коротко проверим подстановкой.

Коэффициенты словами: a = ноль, b = сорок.

y′ = 40

y(x) = 40·x + C

Дано: y′ = 40
1) Интегрируем обе части по x:
   y = ∫ b dx = b·x + C
Ответ: y(x) = 40·x + C

Шаг 1: если a = 0, уравнение становится y′ = b — производная y постоянна.

Шаг 2: интегрируем: y = b·x + C, где C — произвольная константа.

Проверка: (b·x + C)′ = b, совпадает с правой частью.

Если a = 0, уравнение превращается в y′ = b и решается сразу интегрированием. Если a ≠ 0 — используем интегрирующий множитель μ(x)=e^(−a·x).

Проверка: подставляем найденное y(x) в правую часть a·y + b и убеждаемся, что получаем y′(x).

Что означает константа C?
Это произвольная постоянная, отражающая семейство решений дифференциального уравнения.

Когда можно решить без интегрирующего множителя?
Когда a = 0: уравнение становится y′ = b и решается прямым интегрированием.

Зачем нужна проверка?
Чтобы убедиться, что производная y′ совпадает с выражением a·y + b после подстановки решения.