y′ = 82·y + 104

Покажем решение уравнения y′ = a·y + b: шаги, формула ответа и проверка.

Коэффициенты словами: a = восемьдесят два, b = сто четыре.

y′ = 82·y + 104

y(x) = C·e^(82·x) - 52/41

Дано: y′ = 82·y + 104
Приведём к виду: y′ − a·y = b
1) Интегрирующий множитель:
   μ(x) = e^(−82·x)
2) Умножаем уравнение на μ(x):
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Левая часть становится полной производной:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Интегрируем:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) Выражаем y:
   y(x) = C·e^(82·x) − 52/41
Ответ: y(x) = C·e^(82·x) - 52/41

Шаг 1: переносим a·y влево: y′ − a·y = b.

Шаг 2: берём интегрирующий множитель μ(x)=e^(−a·x).

Шаг 3: после умножения левая часть превращается в полную производную (y·μ)′.

Шаг 4: интегрируем правую часть и добавляем константу C.

Шаг 5: умножаем на e^(a·x) и получаем общее решение y(x).

При a=0 имеем y′=b. При a≠0 применяем интегрирующий множитель и получаем общее решение с константой C.

Проверка: подставляем найденное y(x) в правую часть a·y + b и убеждаемся, что получаем y′(x).

Что означает константа C?
Это произвольная постоянная, отражающая семейство решений дифференциального уравнения.

Когда можно решить без интегрирующего множителя?
Когда a = 0: уравнение становится y′ = b и решается прямым интегрированием.

Зачем нужна проверка?
Чтобы убедиться, что производная y′ совпадает с выражением a·y + b после подстановки решения.