y′ = 30

Решим линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка вида y′ = a·y + b методом интегрирующего множителя и проверим ответ подстановкой.

Коэффициенты словами: a = ноль, b = тридцать.

y′ = 30

y(x) = 30·x + C

Дано: y′ = 30
1) Интегрируем обе части по x:
   y = ∫ b dx = b·x + C
Ответ: y(x) = 30·x + C

Шаг 1: если a = 0, уравнение становится y′ = b — производная y постоянна.

Шаг 2: интегрируем: y = b·x + C, где C — произвольная константа.

Проверка: (b·x + C)′ = b, совпадает с правой частью.

При a=0 имеем y′=b. При a≠0 применяем интегрирующий множитель и получаем общее решение с константой C.

Проверяем решением: вычисляем y′ и сравниваем с a·y+b — должно совпасть.

Что означает константа C?
Это произвольная постоянная, отражающая семейство решений дифференциального уравнения.

Когда можно решить без интегрирующего множителя?
Когда a = 0: уравнение становится y′ = b и решается прямым интегрированием.

Зачем нужна проверка?
Чтобы убедиться, что производная y′ совпадает с выражением a·y + b после подстановки решения.